Espacio de columna de una matriz

El álgebra lineal es un tema amplio de matemáticas con aplicaciones en varias situaciones del mundo real, particularmente en el aprendizaje automático. Las matrices y los vectores son los bloques de construcción fundamentales de la álgebra lineal, y se utilizan en una variedad de procedimientos y herramientas. El espacio de la columna de una matriz se discutirá en este artículo. También revisaremos varias terminologías necesarias para comprender el espacio de la columna de la matriz.

¿Cuál es el lapso de un vector??

Span simplemente significa que dado un conjunto de vectores, si se aplica alguna combinación lineal a ese conjunto de vectores y permanece dentro de ese espacio vectorial, abarca ese espacio de vectores. Esto significa que si multiplica cualquier escalar por un vector específico, permanecerá dentro de esa dimensión, ya sea que esté trabajando con la primera, segunda, tercera o nth Dimension. Se dice que "abarca" en todas partes dentro de esa dimensión. Cuando multiplica un conjunto de vectores por un escalar, simplemente indica que el conjunto de vectores con los que está trabajando puede cubrir (o colocarse en cualquier lugar dentro) con la dimensión completa (o espacio vectorial) con el que está trabajando.

¿Qué es la combinación lineal??

Supongamos que tiene un conjunto de objetos matemáticos x₁… .X_norte que admiten la multiplicación y adición escalar.gramo., miembros de un anillo o un espacio vectorial), entonces y = a₁X₁+a₂X₂+… a_norteX_norte (donde la IA son algunos valores de escalar). La ilustración más popular es utilizar vectores 3D en el espacio euclidiano. Un vector que reside en el mismo plano a través del origen que los dos vectores originales que se ponen en el origen es una combinación lineal de dos de estos vectores de este tipo.

¿Qué son los espacios de fila y columna??

Suponga que A es una matriz mxn sobre el campo F. Luego están los vectores n-componentes en las filas, y hay m de ellos. Del mismo modo, cada vector de componente M está representado por n columnas. El subespacio de F^norte Formado por los vectores de fila está el espacio de la fila de A, y sus elementos son combinaciones lineales de los vectores de fila. Este espacio tiene dimensión, y las columnas obligan tales relaciones entre las filas y viceversa. Del mismo modo, el espacio de columna de la matriz es el subespacio de F^metro formado por los vectores de columna de la matriz. Aunque este espacio es distinto del espacio de fila en general, tiene las mismas dimensiones que el espacio de fila, ya que cualquier relación lineal entre las columnas también impone tales relaciones entre las filas y viceversa.

Bucear más en el espacio de la columna

El tramo es el concepto más fundamental. En pocas palabras, el tramo de las columnas de un vector dado es lo que llamamos el espacio de la columna. Puede tomar todas las combinaciones lineales posibles de vectores si tiene una colección de ellos. El espacio vectorial resultante se conoce como el lapso de la colección original. El espacio de la columna es una colección de un conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de los vectores de columna de la matriz. En otras palabras, si un vector b en r^metro se puede expresar como una combinación lineal de las columnas de A, está en el espacio de columna de A. Es decir, b ∈ Cs (a) precisamente cuando existen escalares x₁, X₂,… , X_norte tal que

Como producto de A con un vector de columna, se puede escribir cualquier combinación lineal de los vectores de columna de una matriz A:

Por lo tanto, el espacio de la columna de la matriz A consiste en todos los productos posibles a*x, para x ∈ C^norte. El resultado anterior es también la imagen de la transformación de la matriz correspondiente.

Por lo general, denotamos los espacios de fila y columna de la matriz (digamos A) por C (AT) y C (a), respectivamente.

Conclusión

Este artículo cubrió varios temas relacionados con el espacio de la columna de la matriz. El tramo de un vector es el espacio que permanece sin cambios después de que se aplica una combinación lineal a la recolección de vectores. Después de multiplicar un conjunto de vectores y escalares, la suma se llama combinación lineal. La colección de todas las combinaciones lineales concebibles de los vectores de columna de una matriz es el espacio de la columna de la matriz.